06-03-2025 - Analytical geometry - degenerate conic, exercise [EN]-[IT]

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ENGLISH
06-03-2025 - Analytical geometry - degenerate conic, exercise [EN]-[IT]
With this post I would like to give a brief instruction on the topic mentioned in the subject
(code notes: X_58)

degenerate conic, exercise
First of all, let's remember the concept of degenerate conic
In analytical geometry, a degenerate conic is the set of points of intersection of the surface of a cone with a plane passing through its vertex. When it is represented, we see it constituted as: a pair of incident lines, a pair of coincident lines, by a single point or, if the cone itself degenerates into a cylinder, by a pair of parallel lines.
technical definition
We have that C is a degenerate conic if the polynomial

is reducible to C (in the field of complex numbers)
That is, if it can be written as the product of two first-degree homogeneous polynomials with complex coefficients, which, thought of as if they were equal to zero, correspond to the equations of two straight lines.

NOTE: Complex numbers are the extension of real numbers that include an imaginary unit. Usually the imaginary unit is expressed with the letter i.
Mainly a complex number is described as follows:

Where:
a = real part of the complex number
b = imaginary part of the complex number.
i = imaginary unit.
example

This writing means that:
3 = real part
4i = imaginary unit multiplied by 4

Given these brief pills of information, let's now look at a typical exercise on degenerate conics.

Exercise
Which of the following conics is a degenerate conic of the bundle of conics that contain the two points A and B, and are tangent to the line s at point A and to the line r at point B, indicated in the figure?

Options

1-rAB∪r
2-s∪s
3-rAB∪rAB
4-s∪rAB

Surely at first, this exercise may seem complex to many... don't worry, it is just like that.
The first thing we must observe is that in a degenerate conic formed by two lines, the condition of tangency to a line r at a point P, in projective geometry, translates into the fact that P is the point of intersection of the two lines that make up the conic.
Now let's think about the exercise, what do we have to take into account?
-That the degenerate conic passes through A and B
-That it is tangent to the line s exactly in A and tangent to the line r exactly in B.

The tangency can be traced back to the fact that A and B must each be the common intersection of the two lines of the conic.
We can arrive at the following reasoning.
To obtain what was described before, we must take the line s that passes through A and is tangent in A joined to the line that passes through A and B

We are approaching the final considerations
After having thought about what was described above, we can arrive at these two conclusive reasonings:
-A is on the line s and on AB, so in A the two lines of the conic coincide. Furthermore, the conic is tangent to s.
-B is on the line AB and from the construction the tangency to r in B also occurs.

Now, I report below the four proposed solutions,

1-rAB∪r
2-s∪s
3-rAB∪rAB
4-s∪rAB

The only one of these solutions that corresponds to s combined with (AB) is the solution that I highlighted in bold

Result
The correct answer is the fourth option
s∪rAB

Conclusions
Degenerate conics are not used strictly in a single work environment but they are an integral part of the analysis of mechanical systems, structural analysis and computer graphics.

Question
Have you ever heard of degenerate conics before? Do you remember studying them in school?

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[ITALIAN]
06-03-2025 - Geometria analitica - conica degenere, esercizio [EN]-[IT]
Con questo post vorrei dare una breve istruzione a riguardo dell’argomento citato in oggetto
(code notes: X_58)

conica degenere, esercizio
Innanzitutto ricordiamo il concetto di conica degenere
In geometria analitica una conica degenere è l'insieme dei punti intersezione della superficie di un cono con un piano passante per il suo vertice. Quando viene rappresentata la vediamo costituita come: una coppia di rette incidenti, una coppia di rette coincidenti, da un solo punto oppure, se il cono stesso degenera in un cilindro, da una coppia di rette parallele.
definizione tecnica
Abbiamo che C è una conica degenere se il polinomio

è riducibile in C (nel campo dei numeri complessi)
Ovvero, se può essere scritto come prodotto di due polinomi omogenei di primo grado a coefficienti complessi, che pensati come se fossero uguali a zero corrispondono alle equazioni di due rette.

NOTA: I numeri complessi sono l'estensione dei numeri reali che includono un'unità immaginaria. Solitamente l'unità immaginaria viene espressa con la lettera i.
Principalmente un numero complesso viene descritto come segue:

Dove:
a = parte reale del numero complesso
b = parte immaginaria del numero complesso.
i = unità immaginaria.
esempio

Questa scrittura significa che:
3 = parte reale
4i = unità immaginaria moltiplicata per 4

Date queste brevi pillole di informazione, passiamo ora a visionare un tipico esercizio sulle coniche degeneri.

Esercizio
Quale delle seguenti coniche è una conica degenere del fascio di coniche che contengono i due punti A e B, e sono tangenti alla retta s nel punto A e alla retta r nel punto B, indicati in figura?

Opzioni

1-rAB∪r
2-s∪s
3-rAB∪rAB
4-s∪rAB

Sicuramente all'inizio, questo esercizio può sembrare complesso a tanti... non preoccupatevi è proprio così.
La prima cosa che dobbiamo osservare è che in una conica degenere formata da due rette, la condizione di tangenza a una retta r in un punto P, in geometria proiettiva, si traduce nel fatto che P è il punto di intersezione delle due rette che compongono la conica.
Ora ripensiamo all'esercizio, di cosa dobbiamo tenere conto?
-Che la conica degenere passi per A e per B
-Che sia tangente alla retta s proprio in A e tangente alla retta r proprio in B.

La tangenza è riconducibile al fatto che A e B debbano essere ciascuno l'intersezione comune delle due rette della conica.
Possiamo arrivare al seguente ragionamento.
Per ottenere quanto descritto prima bisogna prendere la retta s che passa in A ed è tangente in A unita alla retta che passa per A e B

Ci avviciniamo alle considerazioni finali
Dopo aver pensato quanto descritto sopra, possiamo arrivare a questi due ragionamenti conclusivi:
-A è sulla retta s e su AB, per cui in A le due rette della conica coincidono. Inoltre la conica risulta tangente a s.
-B è sulla retta AB e dalla costruzione si verifica anche la tangenza a r in B.

Ora, riporto qui di seguito le quattro soluzioni proposte,

1-rAB∪r
2-s∪s
3-rAB∪rAB
4-s∪rAB

L'unica di queste soluzioni che corrisponde a s unito con (AB) è la soluzione che ho evidenziato in grassetto

Risultato
La risposta corretta è la quarta opzione
s∪rAB

Conclusioni
Le coniche degeneri non vengono usate strettamente in un singolo ambito lavorativo però sono parte integrante delle analisi di sistemi meccanici, di analisi strutturali e della computer grafica.

Domanda
Avete mai sentito parlare di coniche degeneri prima d'ora? Ricordate di averle studiate a scuola?

THE END